Z Tablosu — Z Skoru ve Standart Normal Dağılım Tablosu
Negatif ve pozitif z tablosu, z skoru formülü, adım adım tablo okuma
rehberi ve ücretsiz hesaplama aracı. Türkiye'deki üniversite öğrencileri için
hazırlanmış, tamamen Türkçe istatistik kaynağı.
Z tablosu (diğer adlarıyla z skoru tablosu,
z değeri tablosu veya standart normal dağılım tablosu),
istatistikte bir gözlemin normal dağılım içindeki konumunu olasılığa çevirmek için
kullanılan temel araçtır. Ortalaması 0, standart sapması 1 olan standart normal
dağılımda, belirli bir z değerinin solunda kalan alanı beş ondalık basamak
hassasiyetinde verir.
Bu sayfada iki tam z tablosu bulacaksınız: ortalamanın solundaki değerler için
negatif z tablosu ve sağındaki değerler için
pozitif z tablosu. Tablolar resim değil, gerçek
metin olarak hazırlandı; telefondan da rahatça okunur, değerler kopyalanabilir ve
yazıcıdan tek sayfaya sığar. Ayrıca sayfadaki
z skoru hesaplama aracı ile ortalama ve standart sapmayı
girip sonucu anında görebilir, aradığınız hücrenin tabloda otomatik olarak
işaretlenmesini sağlayabilirsiniz.
Kısaca: Z skorunu Z = (x − μ) / σ formülüyle
hesaplayın, sonucun işaretine göre doğru tabloyu seçin, satırdan tam sayı ve ilk
ondalığı, sütundan ikinci ondalığı bulun. Kesişimdeki sayı, aradığınız olasılıktır.
Z Skoru Hesaplama Aracı
Gözlem değerini, ortalamayı ve standart sapmayı girin; z skoru ile birlikte
tablodan okunacak olasılıklar anında hesaplansın.
Elinizde z değeri zaten varsa
Negatif Z Tablosu
Aşağıdaki negatif z tablosu, ortalamanın solunda
kalan değerler için kullanılır. Z skorunuz sıfırdan küçükse (örneğin −0,45 veya −2,13)
bu tabloya bakmalısınız. Tablodaki her sayı, çan eğrisinin altındaki toplam alanın
ilgili z değerinin solunda kalan kısmını verir. Toplam alan 1'e eşit olduğundan bu
değerler doğrudan olasılıktır: 0,08851 değeri %8,851 anlamına gelir.
Satır etiketleri z skorunun tam sayı ve birinci ondalık basamağını, sütun başlıkları
ise ikinci ondalık basamağı gösterir. Örneğin z = −1,35 için −1,3
satırı ile 0,05 sütununun kesişimine bakılır.
Negatif Z Tablosu — ortalamanin solunda kalan alan (z < 0)
Pozitif z tablosu, ortalamanın sağında kalan
değerler için kullanılır. Z skorunuz sıfırdan büyükse (örneğin 0,56 veya 2,45) bu
tabloya bakın. Değerler yine kümülatif olasılıktır; yani z değerinin solunda kalan
toplam alanı verir. Sağda kalan alanı bulmak için tablodaki değeri 1'den çıkarmanız
yeterlidir.
Tablodaki değer, çan eğrisinin z noktasının solunda kalan taralı alanıdır.
Pozitif Z Tablosu — ortalamanin solunda kalan kumulatif alan (z > 0)
Z skoru (standart puan), bir gözlemin ana kütle ortalamasından kaç
standart sapma uzakta olduğunu gösteren ölçüdür. Farklı birimlerdeki verileri ortak bir
ölçeğe indirger; böylece 100 üzerinden verilen bir sınav notuyla 800 üzerinden verilen
bir sınav notu doğrudan karşılaştırılabilir hale gelir.
Pozitif z skoru: Gözlem ortalamanın üzerindedir.
Negatif z skoru: Gözlem ortalamanın altındadır.
Sıfır z skoru: Gözlem tam ortalamaya eşittir; solunda kalan alan
0,50000'dir.
Z skoru istatistikte yalnızca sınav notu karşılaştırmasında değil; hipotez testlerinde,
güven aralığı hesaplarında, kalite kontrolde ve aykırı değer tespitinde de kullanılır.
Genel kabul olarak |z| > 3 olan gözlemler aykırı değer adayı sayılır,
çünkü normal dağılımda verilerin yalnızca binde üçü bu aralığın dışında kalır.
Z Skoru Formülü
Z = (x − μ) ⁄ σ
Standart puan formülü
Z skoru (standart puan) formülünün açık gösterimi.
Z skoru formülündeki semboller
Sembol
Anlamı
Açıklama
Z
Standart puan
Hesaplamak istediğimiz z skoru
x
Gözlem değeri
İncelediğimiz tek bir veri noktası
μ (mü)
Ana kütle ortalaması
Tüm verilerin aritmetik ortalaması
σ (sigma)
Standart sapma
Verilerin ortalama etrafındaki yayılımı
Örneklem ortalaması üzerinden çalışıyorsanız formül biraz değişir. Bu durumda
standart sapma yerine standart hata kullanılır:
Z = (x̄ − μ) ⁄ (σ ⁄ √n)
Örneklem ortalaması için z skoru
Buradaki x̄ örneklem ortalaması, n ise örneklem
büyüklüğüdür. Merkezi limit teoremi gereği örneklem büyüklüğü arttıkça örneklem
ortalamalarının dağılımı normale yaklaşır ve bu formül geçerli hale gelir.
Örnekle Anlatım
Ali, üniversitede istatistik final sınavından 800 puan aldı.
Sınıfın ortalaması 700, standart sapma ise 180.
Ali sınıfın yüzde kaçından daha başarılı?
0,56 değerinin tam sayı ve ilk ondalık kısmı 0,5 — bu satırı sol
sütundan buluyoruz. İkinci ondalık basamak 0,06 — bunu üst satırdan
buluyoruz. Kesişimdeki değer: 0,71226.
Sonuç: Ali'nin z skoru 0,56'dır ve sınıfın yaklaşık
%71,23'ünden daha yüksek puan almıştır. Yani Ali sınıfın en üst
%28,77'lik diliminde yer alıyor.
Aynı örnek negatif z skoruyla
Ayşe aynı sınavdan 457 puan aldı. Z skoru:
Z = (457 − 700) ⁄ 180 = −243 ⁄ 180 = −1,35
Negatif olduğu için negatif z tablosuna bakıyoruz.
−1,3 satırı ile 0,05 sütununun kesişimi: 0,08851. Ayşe sınıfın
yalnızca %8,85'inden daha yüksek puan almış; yani sınıfın
%91,15'i ondan daha başarılı.
Z Tablosu Nasıl Okunur?
Z tablosunu okumak beş adımdan oluşur. Bu adımları bir kez kavradığınızda sınavda
saniyeler içinde sonuca ulaşırsınız.
Z skorunu hesaplayın. Z = (x − μ) / σ formülünü uygulayın ve
sonucu iki ondalık basamağa yuvarlayın. Standart z tabloları iki ondalık hassasiyet
sunar.
İşarete göre tabloyu seçin. Z skoru negatifse negatif tablo,
pozitifse pozitif tablo. Bu adımı atlamak en sık yapılan hatadır.
Satırı bulun. Sol sütunda z skorunun tam sayı ve birinci ondalık
basamağını arayın. Örneğin 2,17 için 2,1 satırı.
Sütunu bulun. Üst satırda ikinci ondalık basamağı arayın.
2,17 için 0,07 sütunu.
Kesişimi okuyun. Satır ve sütunun kesiştiği hücredeki sayı,
z skorunun solunda kalan alandır. 2,17 için bu değer 0,98500'dür.
Farklı soru tiplerinde ne yapmalı?
Soru
Yapılacak işlem
Örnek (z = 1,50)
P(Z < z) — solda kalan alan
Tablodaki değeri doğrudan kullan
0,93319 → %93,32
P(Z > z) — sağda kalan alan
1 − tablo değeri
1 − 0,93319 = 0,06681 → %6,68
P(a < Z < b) — iki değer arası
Büyük değerin tablosu − küçük değerin tablosu
P(0 < Z < 1,5) = 0,93319 − 0,50000 = 0,43319
P(|Z| > z) — iki uç toplamı
2 × (1 − tablo değeri)
2 × 0,06681 = 0,13362 → %13,36
Simetri kuralı: Normal dağılım simetrik olduğu için
P(Z < −a) = P(Z > a) ve P(Z < −a) = 1 − P(Z < a)
eşitlikleri her zaman geçerlidir. Elinizde yalnızca pozitif tablo varsa negatif
değerleri bu kuralla bulabilirsiniz.
Neden İki Ayrı Z Tablosu Var?
Standart normal dağılım eğrisi, ortalama olan sıfır noktasına göre tam simetriktir.
Ortalamanın solunda kalan gözlemler negatif, sağında kalanlar ise pozitif z skoru üretir.
Z skoru pratikte −4 ile +4 arasında değiştiği için, iki ondalık basamak hassasiyetiyle
yaklaşık 800 satırlık bir tablo gerekir. Bu tek bir sayfaya sığmadığından, tablo
geleneksel olarak negatif z tablosu ve pozitif z tablosu
olmak üzere ikiye ayrılmıştır.
Teknik olarak tek bir tablo yeterlidir; çünkü simetri sayesinde
Φ(−z) = 1 − Φ(z) eşitliği geçerlidir. Ancak sınavda hızlı çalışmak ve hata riskini
azaltmak için iki tablonun birlikte kullanılması tercih edilir. Bazı ders kitaplarında
tek tablo verilir ve negatif değerler için bu simetri kuralını uygulamanız beklenir —
hangi sistemi kullandığınızdan emin olun.
Standart Sapma Nedir?
Standart sapma (σ, sigma), bir veri kümesindeki değerlerin
ortalamadan ne kadar uzağa yayıldığını ölçer. Küçük bir standart sapma verilerin
ortalama etrafında sıkışık olduğunu, büyük bir standart sapma ise verilerin geniş bir
aralığa dağıldığını gösterir.
σ = √( Σ(xᵢ − μ)² ⁄ N )
Ana kütle standart sapması
Örneklem üzerinden hesaplama yapıyorsanız payda N yerine n−1 olur (Bessel düzeltmesi):
s = √( Σ(xᵢ − x̄)² ⁄ (n − 1) )
Örneklem standart sapması
Z skoru hesabında standart sapma paydada yer aldığı için, aynı fark değeri farklı
standart sapmalarda çok farklı z skorları üretir. Örneğin ortalamanın 100 puan üzerinde
olmak, standart sapma 20 ise z = 5 (son derece olağandışı) demektir; standart sapma 180
ise z = 0,56 (oldukça sıradan) demektir.
Standart sapma hesaplama sayfasına gidin →
Normal Dağılım ve 68-95-99,7 Kuralı
Normal dağılım (Gauss dağılımı), doğada ve sosyal bilimlerde en sık
karşılaşılan olasılık dağılımıdır. İnsan boyu, ölçüm hataları, sınav puanları ve daha pek
çok değişken yaklaşık olarak normal dağılıma uyar. Çan şeklindeki bu eğri ortalamaya göre
simetriktir; ortalama, medyan ve mod aynı noktada birleşir.
Ampirik kural olarak da bilinen 68-95-99,7 kuralı, normal dağılımda
verilerin ne kadarının ortalamanın belirli standart sapma aralıklarında kaldığını
özetler:
Aralık
Verilerin oranı
Z tablosundan doğrulama
μ ± 1σ
%68,27
0,84134 − 0,15866 = 0,68268
μ ± 2σ
%95,45
0,97725 − 0,02275 = 0,95450
μ ± 3σ
%99,73
0,99865 − 0,00135 = 0,99730
Bu değerleri z tablosundan doğrudan doğrulayabilirsiniz: 1,00 için pozitif tabloda
0,84134, −1,00 için negatif tabloda 0,15866 yazar; farkları 0,68268 yani yaklaşık %68'dir.
Normal dağılım konu anlatımına gidin →
Sık Kullanılan Z Değerleri ve Güven Aralıkları
Hipotez testlerinde ve güven aralığı hesaplarında aşağıdaki z değerleri ezberlenecek
kadar sık kullanılır. Sınav öncesi bu tabloya bir göz atmanız işinizi kolaylaştırır.
Güven düzeyi
Anlamlılık (α)
Çift yönlü z
Tek yönlü z
%80
0,20
1,282
0,842
%85
0,15
1,440
1,036
%90
0,10
1,645
1,282
%95
0,05
1,960
1,645
%98
0,02
2,326
2,054
%99
0,01
2,576
2,326
%99,9
0,001
3,291
3,090
Bu değerler tablodan tersine okumayla bulunur. Örneğin %95 güven aralığı için her iki
uçta %2,5 alan bırakılır; yani tabloda 0,97500 değerine karşılık gelen z aranır ve
1,96 bulunur. Yukarıdaki hesaplayıcının "Olasılık → z değeri" kutusuna
0,975 yazarak bunu kendiniz doğrulayabilirsiniz.
Yüzdelik dilimler
Yüzdelik dilim
Z skoru
Yorum
%1
−2,326
En düşük %1
%10
−1,282
Alt onda birlik dilim
%25
−0,674
Birinci çeyrek (Q1)
%50
0,000
Medyan / ortalama
%75
0,674
Üçüncü çeyrek (Q3)
%90
1,282
Üst onda birlik dilim
%99
2,326
En yüksek %1
Z Tablosu mu, T Tablosu mu Kullanmalıyım?
Öğrencilerin en çok kafasının karıştığı nokta budur. Karar iki soruya bağlıdır:
ana kütle standart sapmasını biliyor musunuz ve örneklem kaç birimden oluşuyor?
Durum
Kullanılacak tablo
Neden
σ biliniyor, n herhangi bir değer
Z tablosu
Standart normal dağılım doğrudan geçerlidir
σ bilinmiyor, n ≥ 30
Z tablosu
Büyük örneklemde t dağılımı normale çok yaklaşır
σ bilinmiyor, n < 30
T tablosu
Küçük örneklemde ek belirsizlik vardır; t dağılımı daha geniş kuyrukludur
Kategorik veri, uyum iyiliği testi
Ki-kare tablosu
Frekans karşılaştırmaları farklı bir dağılım gerektirir
Aşağıdaki soruları önce kendiniz çözmeye çalışın, sonra çözümü açın.
Soru 1 — Bir üniversitede öğrencilerin ortalama boyu 172 cm, standart sapma 8 cm'dir. Rastgele seçilen bir öğrencinin boyunun 180 cm'den uzun olma olasılığı nedir?
Çözüm: Z = (180 − 172) / 8 = 8 / 8 = 1,00.
Pozitif tabloda 1,0 satırı ve 0,00 sütunu kesişimi: 0,84134. Bu, soldaki
alandır. Sorulan sağdaki alan olduğu için: 1 − 0,84134 = 0,15866.
Yani olasılık yaklaşık %15,87'dir.
Soru 2 — Aynı üniversitede bir öğrencinin boyunun 164 cm ile 180 cm arasında olma olasılığı nedir?
Çözüm: İki z skoru hesaplanır.
Z₁ = (164 − 172) / 8 = −1,00 ve Z₂ = (180 − 172) / 8 = 1,00.
Negatif tablodan −1,00 → 0,15866; pozitif tablodan 1,00 → 0,84134.
Aradaki alan: 0,84134 − 0,15866 = 0,68268, yani
%68,27. Bu sonuç 68-95-99,7 kuralıyla birebir uyuşur.
Soru 3 — Bir fabrikada üretilen ampullerin ömrü ortalama 1200 saat, standart sapma 150 saattir. Ampullerin en uzun ömürlü %5'i kaç saatten fazla dayanır?
Çözüm: Bu bir ters problem. Üstte %5 alan kaldığına göre solda
%95 alan kalır. Tabloda 0,95000'e en yakın değer 0,94950 (z = 1,64) ile 0,95053
(z = 1,65) arasındadır; kabul edilen değer z = 1,645'tir.
x = μ + z·σ = 1200 + 1,645 × 150 = 1200 + 246,75 =
yaklaşık 1247 saat.
Soru 4 — Bir sınavda ortalama 65, standart sapma 12'dir. 50 puan alan bir öğrenci hangi yüzdelik dilimdedir?
Çözüm: Z = (50 − 65) / 12 = −15 / 12 = −1,25.
Negatif tabloda −1,2 satırı, 0,05 sütunu: 0,10565. Öğrenci
yaklaşık %10,6'lık dilimdedir; yani sınıfın %89,4'ü ondan daha
yüksek puan almıştır.
Soru 5 — Bir ürünün ağırlığı ortalama 500 g, standart sapma 5 g'dır. 490 g'ın altındaki ürünler hatalı sayılıyorsa hata oranı nedir?
Çözüm: Z = (490 − 500) / 5 = −2,00.
Negatif tabloda −2,0 satırı, 0,00 sütunu: 0,02275. Hata oranı
yaklaşık %2,28, yani her 1000 üründen yaklaşık 23'ü hatalıdır.
Soru 6 — Ortalaması 100, standart sapması 15 olan bir IQ testinde 130'un üzerinde puan alanların oranı nedir?
Çözüm: Z = (130 − 100) / 15 = 2,00.
Pozitif tabloda 2,0 satırı, 0,00 sütunu: 0,97725. Sağdaki alan:
1 − 0,97725 = 0,02275, yani nüfusun yaklaşık
%2,28'i.
Z Tablosu Kullanırken Sık Yapılan Hatalar
Yanlış tabloya bakmak. Negatif z skoru için pozitif tabloya
bakmak en yaygın hatadır. İşareti her zaman iki kez kontrol edin.
Sol alanı sağ alan sanmak. Standart z tabloları her zaman
soldaki kümülatif alanı verir. "…den büyük olma olasılığı" soruluyorsa
tablodaki değeri 1'den çıkarmayı unutmayın.
Yuvarlama hatası. Z skorunu iki ondalık basamağa yuvarlarken
1,456 değerini 1,45 yerine 1,46 yapmalısınız. Küçük görünse de sonucu binde birler
düzeyinde kaydırır.
Standart sapma yerine varyans kullanmak. Soruda varyans (σ²)
verilmişse önce karekökünü alıp standart sapmaya çevirin. Varyans 144 ise standart
sapma 12'dir.
Örneklem sorusunda √n'i unutmak. Soru tek bir gözlem yerine
örneklem ortalamasını soruyorsa paydada σ/√n kullanılmalıdır.
Küçük örneklemde z kullanmak. n < 30 ve σ bilinmiyorsa
z değil t tablosu kullanılır.
Standart Normal Dağılım Tablosunun Tarihçesi
Normal dağılımın matematiksel temeli 18. yüzyıla dayanır. Fransız asıllı matematikçi
Abraham de Moivre, 1733 yılında binom dağılımının büyük örneklemlerde
çan biçimli bir eğriye yaklaştığını gösterdi. Bu, normal dağılımın ilk resmi
tanımıydı; ancak de Moivre'nin çalışması uzun süre hak ettiği ilgiyi görmedi.
Pierre-Simon Laplace 1783'te dağılımı ölçüm hatalarının analizinde
kullandı ve merkezi limit teoreminin temellerini attı. Carl Friedrich Gauss
ise 1809'da astronomik gözlem hatalarını modellemek için aynı dağılımı kullandı;
bugün dağılımın "Gauss dağılımı" olarak da anılmasının nedeni budur.
Dağılımın sosyal bilimlere taşınması Belçikalı istatistikçi
Adolphe Quetelet sayesinde oldu. Quetelet, 19. yüzyılın ortalarında
insan boyu, göğüs çevresi ve ağırlık gibi ölçümlerin normal dağılıma uyduğunu gösterdi
ve "ortalama insan" kavramını literatüre kazandırdı.
Bilgisayarların yaygınlaşmasından önce, normal dağılımın kümülatif olasılıklarını
her seferinde integral alarak hesaplamak pratik değildi. Bu nedenle değerler önceden
hesaplanıp tablo halinde yayımlandı. Bugün yazılımlar bu değerleri anında hesaplasa da
z tablosu, kavramı öğretmedeki gücü ve sınavlarda hâlâ kullanılması nedeniyle
istatistik eğitiminin vazgeçilmez parçası olmaya devam ediyor.
Sıkça Sorulan Sorular
Z tablosu nedir?
Z tablosu, standart normal dağılımda belirli bir z skorunun solunda kalan alanın
olasılık değerini gösteren tablodur. Standart normal dağılım tablosu veya z skoru
tablosu olarak da bilinir. Ortalaması 0, standart sapması 1 olan dağılım için
hazırlanmıştır.
Z skoru nasıl hesaplanır?
Z = (x − μ) / σ formülü kullanılır. Gözlem değerinden ortalama çıkarılır ve sonuç
standart sapmaya bölünür. Elde edilen sayı, gözlemin ortalamadan kaç standart sapma
uzakta olduğunu verir.
Z tablosundaki değerler ne anlama geliyor?
Her değer, çan eğrisinin altındaki toplam alanın ilgili z skorunun solunda kalan
kısmıdır. Toplam alan 1 olduğu için bu değerler doğrudan olasılık olarak okunur.
100 ile çarparsanız yüzde elde edersiniz.
Z skoru negatif çıkarsa ne olur?
Negatif z skoru gözlemin ortalamanın altında olduğunu gösterir. Hesaplamada bir
sorun yoktur; sadece negatif z tablosunu kullanmanız gerekir.
Z tablosunda aradığım değer yoksa ne yapmalıyım?
Z skorunuz ±4'ün dışındaysa olasılık pratikte 0 veya 1 kabul edilir. Ara değerler
için en yakın iki satır arasında doğrusal ara değerleme (interpolasyon) yapabilir
ya da sayfadaki hesaplama aracını kullanabilirsiniz.
Z skoru kaçın üzerinde olursa aykırı değer sayılır?
Yaygın kabul |z| > 3'tür. Normal dağılımda verilerin yalnızca %0,27'si bu
aralığın dışında kaldığı için, bu tür gözlemler aykırı değer adayı olarak incelenir.
Bazı alanlarda eşik |z| > 2,5 olarak da kullanılır.
Z tablosunu sınavda ezberlemem gerekir mi?
Hayır. Neredeyse tüm sınavlarda z tablosu size verilir. Ezberlemeniz gereken tek
şey formül ve tabloyu okuma yöntemidir. Yine de 1,645 · 1,96 · 2,576 gibi kritik
değerleri bilmek zaman kazandırır.
Z tablosu ile t tablosu arasındaki fark nedir?
Z tablosu ana kütle standart sapması bilindiğinde veya örneklem 30'dan büyük
olduğunda kullanılır. T tablosu ise standart sapma bilinmediğinde ve örneklem küçük
olduğunda kullanılır; serbestlik derecesine göre değişen değerler içerir.
T tablosuna bakın →
Excel'de z tablosu değeri nasıl bulunur?
=NORM.S.DAĞ(z; DOĞRU) formülü tablodaki değeri verir. Türkçe olmayan
sürümlerde =NORM.S.DIST(z; TRUE) kullanılır. Ters yönde, olasılıktan z
bulmak için =NORM.S.TERS(olasılık) ya da
=NORM.S.INV(probability) kullanabilirsiniz.
