Normal Dağılım Nedir?
Normal dağılım (Gauss dağılımı ya da çan eğrisi), sürekli bir rastgele değişkenin en sık karşılaşılan olasılık dağılımıdır. Değerlerin çoğunluğu ortalama civarında toplanır, ortalamadan uzaklaştıkça gözlem sıklığı simetrik biçimde azalır.
Temel özellikleri
- Simetriktir. Ortalamanın sağı ve solu birbirinin aynasıdır.
- Ortalama, medyan ve mod eşittir ve eğrinin tepe noktasındadır.
- Eğrinin altındaki toplam alan 1'dir. Bu yüzden alanlar doğrudan olasılık olarak okunur.
- İki parametreyle tanımlanır: ortalama (μ) eğrinin konumunu, standart sapma (σ) genişliğini belirler.
- Asimptotiktir. Kuyruklar eksene hiçbir zaman değmez, sonsuza kadar uzanır.
Standart Normal Dağılım
Standart normal dağılım, ortalaması 0 ve standart sapması 1 olan özel normal dağılımdır. Her normal dağılım, z dönüşümü ile standart normale çevrilebilir:
Bu dönüşüm sayesinde her farklı ortalama ve standart sapma için ayrı tablo hazırlamaya gerek kalmaz; tek bir z tablosu tüm normal dağılımlar için yeterlidir. İstatistiğin en zarif fikirlerinden biri budur.
68-95-99,7 Kuralı (Ampirik Kural)
Normal dağılımda verilerin ne kadarının ortalamanın belirli uzaklıklarında kaldığını bu kural özetler:
| Aralık | Kapsanan oran | Dışarıda kalan |
|---|---|---|
| μ ± 1σ | %68,27 | yaklaşık 3 kişide 1 |
| μ ± 2σ | %95,45 | yaklaşık 20 kişide 1 |
| μ ± 3σ | %99,73 | yaklaşık 370 kişide 1 |
| μ ± 4σ | %99,994 | yaklaşık 15.787 kişide 1 |
Uygulama: Ortalama boyun 172 cm, standart sapmanın 8 cm olduğu bir toplulukta insanların yaklaşık %68'i 164–180 cm arasındadır, %95'i 156–188 cm arasındadır ve neredeyse tamamı (%99,7) 148–196 cm aralığına düşer.
Merkezi Limit Teoremi
Normal dağılımın istatistikteki merkezi rolünün nedeni merkezi limit teoremidir. Bu teorem şunu söyler: Ana kütlenin dağılımı ne olursa olsun, yeterince büyük örneklemlerden alınan örneklem ortalamalarının dağılımı normale yaklaşır.
Pratikte n ≥ 30 genellikle yeterli kabul edilir. Bu yüzden zar atma, anket sonuçları veya üretim ölçümleri gibi normal olmayan verilerde bile ortalamalarla çalışırken z tablosu kullanabiliriz.
Dikkat edilecek nokta: örneklem ortalamalarının standart sapması (standart hata), ana kütle standart sapmasından √n kat küçüktür. Örneklem büyüdükçe tahminimiz keskinleşir.
Gerçek Hayatta Normal Dağılım Örnekleri
- İnsan boyu ve ağırlığı — belirli bir yaş ve cinsiyet grubunda
- Sınav puanları — büyük gruplarda, özellikle standardize sınavlarda
- IQ testleri — ortalama 100, standart sapma 15 olacak şekilde tasarlanır
- Ölçüm hataları — laboratuvar ve astronomi ölçümlerinde
- Üretim toleransları — makine parçalarının boyut sapmaları
- Kan basıncı, doğum ağırlığı gibi biyolojik ölçümler
Buna karşılık gelir dağılımı, şehir nüfusları ve internet sitesi ziyaret süreleri gibi değişkenler normal değildir; sağa çarpıktır. Böyle verilerde z tablosu doğrudan kullanılmaz, önce dönüşüm yapmak gerekir.
Sıkça Sorulan Sorular
Normal dağılım ile standart normal dağılım arasındaki fark nedir?
Normal dağılımın ortalaması ve standart sapması herhangi bir değer olabilir. Standart normal dağılımda ise ortalama 0, standart sapma 1'dir. Z dönüşümü ile her normal dağılım standart normale çevrilir.
Verilerimin normal dağıldığını nasıl anlarım?
Histogram ve Q-Q grafiği gibi görsel yöntemlerin yanı sıra Shapiro-Wilk veya Kolmogorov-Smirnov gibi normallik testleri kullanılır. Çarpıklık ve basıklık değerlerinin −2 ile +2 arasında olması da yaygın bir ölçüttür.
Neden normal dağılıma "Gauss dağılımı" da deniyor?
Carl Friedrich Gauss 1809'da astronomik ölçüm hatalarını modellemek için bu dağılımı kullandığı ve matematiksel temellerini geliştirdiği için dağılım onun adıyla da anılır.