Ortalama İçin Güven Aralığı
Örneklem bilgilerinizi girin; sonuç siz yazarken güncellenir.
Oran İçin Güven Aralığı
Anket sonuçları ve "kaç kişiden kaçı" türü veriler için kullanın.
Güven Aralığı Nedir?
Güven aralığı, bilmediğimiz bir ana kütle değerinin (örneğin gerçek ortalamanın) hangi aralıkta olabileceğini gösteren bir tahmin aralığıdır. Tek bir sayı söylemek yerine — "ortalama 68,5" — bir aralık söyleriz: "ortalama %95 güvenle 63,6 ile 73,4 arasındadır".
Aralığın genişliği belirsizliğinizin ölçüsüdür. Dar aralık keskin bir tahmin, geniş aralık ise elinizdeki verinin fazla bir şey söylemediği anlamına gelir.
Sık yapılan yorum hatası: "%95 güven aralığı" ifadesi, gerçek ortalamanın bu aralıkta olma olasılığının %95 olduğu anlamına gelmez. Doğru yorum şudur: Aynı yöntemle 100 kez örneklem alıp 100 aralık kursaydık, bunların yaklaşık 95'i gerçek ortalamayı içerirdi. Gerçek ortalama sabittir; rastgele olan aralıktır.
Güven Aralığı Formülü
Ortalama için — σ biliniyorsa (z kullanılır)
Ortalama için — σ bilinmiyorsa (t kullanılır)
Oran için
Formüldeki ikinci terime hata payı denir. Anket haberlerinde geçen "±3 puan hata payı" ifadesi tam olarak budur.
Sık kullanılan kritik z değerleri
| Güven düzeyi | α | Kritik z değeri |
|---|---|---|
| %90 | 0,10 | 1,645 |
| %95 | 0,05 | 1,960 |
| %98 | 0,02 | 2,326 |
| %99 | 0,01 | 2,576 |
Bu değerleri z tablosundan da okuyabilirsiniz: %95 için tabloda 0,975 olasılığına karşılık gelen z değerini ararsınız.
z mi t mi Kullanmalıyım?
Sınavlarda en çok kafa karıştıran nokta budur. Kural aslında basittir:
| Durum | Kullanılacak dağılım |
|---|---|
| Ana kütle standart sapması (σ) biliniyor | z — örneklem büyüklüğü fark etmez |
| σ bilinmiyor, örneklemden s hesaplandı | t — serbestlik derecesi n − 1 |
| σ bilinmiyor ama n çok büyük (n > 100) | t doğrudur, z pratikte aynı sonucu verir |
Gerçek hayatta σ neredeyse hiçbir zaman bilinmez; bu yüzden varsayılan tercihiniz t olmalıdır. Yukarıdaki hesaplayıcı "Otomatik seç" modunda tam olarak bu kuralı uygular.
n büyüdükçe fark kapanır: n = 25 için t kritik değeri 2,064, n = 100 için 1,984, z ise 1,960. Ayrıntı için t tablosu sayfasına bakabilirsiniz.
Adım Adım Çözümlü Örnek
Bir üniversitede rastgele seçilen 25 öğrencinin istatistik sınavı ortalaması 68,5, standart sapması 12. %95 güven aralığını bulalım.
1. Hangi dağılım?
Ana kütle standart sapması verilmemiş, örneklemden hesaplanmış. Öyleyse t dağılımı kullanılır. Serbestlik derecesi 25 − 1 = 24.
2. Kritik değeri bulun
t tablosunda sd = 24, çift yönlü α = 0,05 için kritik değer 2,064.
3. Standart hatayı hesaplayın
4. Hata payını hesaplayın
5. Aralığı yazın
Yorum: Bu üniversitedeki tüm öğrencilerin gerçek sınav ortalamasının 63,55 ile 73,45 arasında olduğunu %95 güvenle söyleyebiliriz.
Aralığı Ne Daraltır?
- Örneklem büyüklüğünü artırmak. Hata payı √n ile ters orantılıdır. Aralığı yarıya indirmek için örneklemi dört katına çıkarmanız gerekir — n = 25 yerine n = 100.
- Güven düzeyini düşürmek. %99 yerine %90 seçerseniz aralık daralır, ama gerçek değeri kaçırma riskiniz artar. Bedava daralma yoktur.
- Ölçüm değişkenliğini azaltmak. Daha homojen bir grup ya da daha hassas ölçüm, standart sapmayı ve dolayısıyla aralığı küçültür.
| Örneklem (n) | Standart hata (s = 12) | %95 hata payı |
|---|---|---|
| 10 | 3,79 | ±8,58 |
| 25 | 2,40 | ±4,95 |
| 100 | 1,20 | ±2,38 |
| 400 | 0,60 | ±1,18 |
Dört katına çıkan örneklem, hata payını tam olarak yarıya indiriyor. Anket şirketlerinin neden 1000–1500 kişide durduğunu bu tablo açıklar: sonraki her iyileşme çok daha pahalıdır.
Sıkça Sorulan Sorular
%95 güven aralığı ile %99 arasındaki fark nedir?
%99 güven aralığı daha geniştir, çünkü daha emin olmak istiyorsunuz. Aynı veride %95 için kritik z 1,960 iken %99 için 2,576'dir; aralık yaklaşık %32 genişler. Emin olmakla kesin konuşmak arasındaki ödünleşme budur.
Güven aralığı ile hipotez testi arasındaki ilişki nedir?
İkisi aynı madalyonun iki yüzüdür. %95 güven aralığı belirli bir değeri (örneğin 70) içermiyorsa, o değere karşı yapılan çift yönlü test α = 0,05 düzeyinde anlamlı çıkar. Aralık sıfırı içermiyorsa "fark anlamlıdır" dersiniz.
Örneklem büyüklüğü ne kadar olmalı?
İstediğiniz hata payını (E) belirleyip formülü ters çevirirsiniz: n = (z · σ ⁄ E)². Örneğin σ = 12 ve ±2 puan hata payı istiyorsanız n = (1,960 × 12 ⁄ 2)² ≈ 138 kişi gerekir.
Excel'de güven aralığı nasıl hesaplanır?
Hata payı için =GÜVENİLİRLİK.NORM(0,05; σ; n) ya da t için
=GÜVENİLİRLİK.T(0,05; s; n) kullanılır (İngilizce:
CONFIDENCE.NORM / CONFIDENCE.T). Çıkan değeri ortalamadan
çıkarıp ekleyerek aralığı yazarsınız.