Standart Sapma Nedir?
Standart sapma, bir veri kümesindeki değerlerin ortalamadan ortalama olarak ne kadar uzaklaştığını gösteren yayılım ölçüsüdür. Küçük standart sapma verilerin ortalama çevresinde toplandığını, büyük standart sapma ise geniş bir aralığa yayıldığını anlatır.
İki sınıf düşünün: her ikisinin de not ortalaması 70. Birinci sınıfın standart sapması 4, ikincisininki 20. Birinci sınıfta öğrenciler birbirine yakın; ikinci sınıfta çok başarılı ve çok başarısız öğrenciler bir arada. Ortalama tek başına bu farkı göstermez — standart sapma gösterir.
Standart Sapma Formülü
Ana kütle standart sapması (σ)
Elinizdeki veri tüm topluluğu kapsıyorsa bu formül kullanılır. Payda, gözlem sayısı N'dir.
Örneklem standart sapması (s)
Veriniz daha büyük bir topluluktan alınmış bir örneklemse payda n − 1 olur. Buna Bessel düzeltmesi denir. Örneklem, ana kütlenin yayılımını sistematik olarak olduğundan küçük tahmin ettiği için payda küçültülerek bu yanlılık giderilir.
Hangisini kullanmalıyım? Sınav sorusunda "bir sınıfın tüm öğrencileri" gibi kapalı bir grup varsa N; "rastgele seçilen 20 kişi" gibi bir örneklem varsa n − 1 kullanın. Emin değilseniz n − 1 daha güvenli tercihtir.
Adım Adım Çözümlü Örnek
Veri kümesi: 4, 8, 6, 5, 3 (5 gözlem, ana kütle kabul edelim).
1. Ortalamayı bulun
2. Her değerin ortalamadan farkını ve karesini hesaplayın
| xᵢ | xᵢ − μ | (xᵢ − μ)² |
|---|---|---|
| 4 | −1,2 | 1,44 |
| 8 | 2,8 | 7,84 |
| 6 | 0,8 | 0,64 |
| 5 | −0,2 | 0,04 |
| 3 | −2,2 | 4,84 |
| Toplam | 14,80 | |
3. Varyansı bulun
4. Karekökünü alın
Örneklem olarak hesaplasaydık payda 4 olurdu: s² = 14,80 / 4 = 3,70 ve s = 1,92. Küçük veri kümelerinde bu fark hiç de küçük değildir.
Varyans ile Standart Sapma Farkı
Varyans (σ²), standart sapmanın karesidir. Matematiksel işlemlerde varyansla çalışmak kolaydır çünkü toplanabilir. Ancak varyansın birimi, verinin biriminin karesidir — "cm kare" gibi yorumlanamayan bir birim. Standart sapma karekök alarak birimi veriyle aynı ölçeğe döndürür; bu yüzden yorumlanabilir olan odur.
| Varyans | Standart Sapma | |
|---|---|---|
| Sembol | σ² veya s² | σ veya s |
| Birim | Verinin biriminin karesi | Verinin birimiyle aynı |
| Yorumlanabilirlik | Zor | Kolay |
| Z skorunda kullanımı | Doğrudan kullanılmaz | Paydada yer alır |
Sınav uyarısı: Soruda varyans verilmişse z skoru hesaplamadan önce karekökünü almayı unutmayın. Varyans 144 ise standart sapma 12'dir.
Standart Sapma ve Z Tablosu İlişkisi
Standart sapma, z skoru formülünün paydasıdır ve sonucu doğrudan belirler. Aynı ham fark, farklı standart sapmalarda tamamen farklı anlamlar taşır:
| Ortalamadan fark | σ = 5 | σ = 20 | σ = 50 |
|---|---|---|---|
| +10 puan | z = 2,00 (üst %2,3) | z = 0,50 (üst %30,9) | z = 0,20 (üst %42,1) |
| +25 puan | z = 5,00 (üst %0,00003) | z = 1,25 (üst %10,6) | z = 0,50 (üst %30,9) |
Bu tablo, "ortalamanın 10 puan üzerinde olmak" ifadesinin tek başına neden hiçbir şey anlatmadığını gösterir. Standart sapmayı bilmeden performans değerlendirilemez.
Sıkça Sorulan Sorular
Standart sapma negatif olabilir mi?
Hayır. Karelerin toplamının karekökü alındığı için standart sapma her zaman sıfır veya pozitiftir. Sıfır olması, tüm değerlerin birbirine eşit olduğu anlamına gelir.
Excel'de standart sapma nasıl hesaplanır?
Örneklem için =STDSAPMA.Ö(aralık) (İngilizce: =STDEV.S),
ana kütle için =STDSAPMA.P(aralık) (İngilizce: =STDEV.P)
kullanılır.
Standart sapma büyükse bu kötü bir şey mi?
Duruma bağlı. Üretim kalitesinde küçük standart sapma istenir çünkü tutarlılık demektir. Yatırım getirilerinde ise yüksek standart sapma yüksek risk ama yüksek potansiyel getiri anlamına gelir. Tek başına iyi ya da kötü değildir.
Standart hata ile standart sapma aynı şey mi?
Hayır. Standart sapma tek tek gözlemlerin yayılımını, standart hata ise örneklem ortalamalarının yayılımını ölçer. Standart hata = σ / √n formülüyle bulunur ve her zaman standart sapmadan küçüktür.